Checklist ôn thi TSA

Dữ liệu checklist của bạn sẽ được lưu trên trình duyệt nha.

0/ 309 mục

ĐẠI SỐ, HÀM SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC

1. Mệnh đề và Tập hợp

Mục tiêu

Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến và xét tính đúng sai.Lập mệnh đề phủ định, kéo theo, đảo, tương đương.Viết và phủ định mệnh đề chứa ký hiệu ∀, ∃.Xác định điều kiện cần, điều kiện đủ.Thực hiện phép giao, hợp, hiệu, phần bù; biểu diễn khoảng, đoạn, nửa khoảng trên trục số.Giải bài toán đếm bằng biểu đồ Ven.

Lý thuyết cốt lõi

P \Rightarrow Q

chỉ sai khi

P

đúng và

Q

sai; mệnh đề đảo là

Q \Rightarrow P

P \Leftrightarrow Q

khi cả hai chiều cùng đúng;

P

là điều kiện đủ của

Q

Q

là điều kiện cần của

P

.Phủ định:

\overline{\forall x, P(x)} \Leftrightarrow \exists x, \overline{P(x)}

.Phủ định:

\overline{\exists x, P(x)} \Leftrightarrow \forall x, \overline{P(x)}

A \subset B \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B)

; tập

n

phần tử có

2^n

tập con.

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)

Mô-típ dạng bài

Cho mệnh đề chứa biến → chọn mệnh đề phủ định đúng, hoặc xét đúng/sai của mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo.

Cho số học sinh tham gia các hoạt động → dùng biểu đồ Ven đếm số người tham gia đúng 1 nhóm.

2. Hàm số và Đồ thị (khái niệm chung)

Mục tiêu

Tìm tập xác định của hàm số cho bằng công thức.Đọc giá trị hàm số, tập giá trị và khoảng đơn điệu từ đồ thị.Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.Xét tính đơn điệu bằng định nghĩa.

Lý thuyết cốt lõi

Điều kiện xác định:

\frac{1}{f(x)}

cần

f(x) \neq 0

;

\sqrt{f(x)}

cần

f(x) \ge 0

.Hàm chẵn:

f(-x) = f(x)

, đồ thị đối xứng qua

Oy

.Hàm lẻ:

f(-x) = -f(x)

, đồ thị đối xứng qua gốc

O

; tập xác định phải đối xứng qua

0

.Đồng biến trên

K

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

, tức

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} > 0

Mô-típ dạng bài

Cho hàm chứa căn hoặc phân thức và tham số

m

→ tìm

m

để tập xác định là

\mathbb{R}

Cho công thức hàm số → xét hàm chẵn, lẻ hoặc không chẵn không lẻ.

3. Bất phương trình và Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu

Biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.Biểu diễn miền nghiệm của hệ; nhận diện hệ từ hình vẽ miền nghiệm.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

F = ax + by

trên miền đa giác.

Lý thuyết cốt lõi

Vẽ bờ

ax + by + c = 0

.Lấy điểm

O(0;0)

(nếu không nằm trên bờ) để chọn nửa mặt phẳng nghiệm.Miền nghiệm của hệ là phần chung của các nửa mặt phẳng.Trên miền đa giác bị chặn,

F

đạt Max/Min tại một đỉnh; miền không bị chặn cần kiểm tra thêm.

Mô-típ dạng bài

Cho hình vẽ miền nghiệm đa giác → nhận diện hệ bất phương trình tương ứng.

Cho hệ ràng buộc tài nguyên → tìm tọa độ các đỉnh, tính lợi nhuận lớn nhất hoặc chi phí nhỏ nhất.

4. Hàm số bậc hai, Tam thức bậc hai và Phương trình quy về bậc hai

Mục tiêu

Xác định đỉnh, trục đối xứng, lập bảng biến thiên và vẽ Parabol.Tìm hệ số của Parabol khi biết đỉnh hoặc điểm đi qua.Xét dấu tam thức bậc hai.Giải bất phương trình bậc hai; tìm điều kiện để nghiệm đúng với mọi

x

.Giải phương trình chứa căn hoặc dấu giá trị tuyệt đối quy về bậc hai.Dùng định lý Viète xét nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số.

Lý thuyết cốt lõi

Đỉnh

I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)

, trục đối xứng

x = -\frac{b}{2a}

.Dấu tam thức: “trong trái, ngoài cùng” khi

\Delta > 0

ax^2+bx+c > 0\ \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow a > 0,\ \Delta < 0

\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}

(bình phương rồi thử lại).

|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = \pm g(x) \end{cases}

.Viète:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

x_1 x_2 = \frac{c}{a}

.Hai nghiệm trái dấu

\Leftrightarrow ac < 0

; hai nghiệm dương phân biệt

\Leftrightarrow \Delta > 0,\ S > 0,\ P > 0

Mô-típ dạng bài

Cho Parabol có đỉnh và đi qua một điểm → tính

a + b + c

Cho phương trình bậc hai chứa

m

→ tìm

m

để hai nghiệm thỏa

x_1^2 + x_2^2 = k

hoặc

x_1 < 0 < x_2

8. Lượng giác: Công thức, Hàm số và Phương trình lượng giác

Mục tiêu

Đổi độ - radian; nhớ bảng giá trị góc đặc biệt.Dùng góc lượng giác và công thức liên hệ góc (bù, phụ, đối, hơn kém

\pi

).Rút gọn biểu thức bằng công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc.Biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.Tìm tập xác định, chu kỳ, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác.Giải phương trình lượng giác cơ bản.Giải các dạng thường gặp và đếm số nghiệm trên đoạn.

Lý thuyết cốt lõi

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

;

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

;

1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

.Cộng:

\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b

;

\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b

.Nhân đôi:

\sin 2x = 2\sin x\cos x

;

\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x

.Hạ bậc:

\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}

;

\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}

.Tích thành tổng:

\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]

;

\sin a\cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]

.Tổng thành tích:

\sin a+\sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}

;

\cos a+\cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}

\tan x

xác định khi

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

;

\cot x

xác định khi

x \neq k\pi

\sin, \cos

tuần hoàn chu kỳ

2\pi

;

\tan, \cot

chu kỳ

\pi

;

-1 \le \sin x, \cos x \le 1

\sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi

hoặc

x = \pi - \alpha + k2\pi

;

\cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi

;

\tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi

.Bậc hai theo một hàm lượng giác: đặt

t

và nhớ điều kiện

|t| \le 1

a\sin x + b\cos x = c

có nghiệm

\Leftrightarrow a^2+b^2 \ge c^2

(đưa về

\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)

).Đẳng cấp bậc hai:

a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = d

, chia hai vế cho

\cos^2 x

Mô-típ dạng bài

Cho biểu thức chứa

\tan x

hoặc mẫu lượng giác → tìm tập xác định, loại điểm gián đoạn.

Cho hàm lượng giác dạng tích → dùng nhân đôi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Cho phương trình bậc hai hoặc

a\sin x + b\cos x = c

→ giải và đếm nghiệm trên

[0; 2\pi]

9. Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân và Quy nạp

Mục tiêu

Xác định số hạng tổng quát, công sai

d

, công bội

q

.Nhận biết dãy tăng, giảm và bị chặn.Tính tổng

n

số hạng đầu

S_n

của CSC, CSN.Thiết lập điều kiện ba số hạng liên tiếp lập thành CSC/CSN.Chứng minh mệnh đề đúng với mọi

n

bằng quy nạp.Tìm số hạng tổng quát của dãy

u_{n+1} = Au_n + B

Lý thuyết cốt lõi

Dãy tăng:

u_{n+1} - u_n > 0

; dãy giảm:

u_{n+1} - u_n < 0

.Dãy bị chặn khi tồn tại

m \le u_n \le M

với mọi

n

.CSC:

u_n = u_1 + (n-1)d

.CSC:

a + c = 2b

;

S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}

.Tổng đặc biệt:

1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}

;

1+3+\dots+(2n-1) = n^2

.CSN:

u_n = u_1 q^{n-1}

;

ac = b^2

.CSN:

S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}

(

q \neq 1

).Quy nạp: kiểm tra

n=1

; giả sử đúng với

n=k

, chứng minh đúng với

n=k+1

.Dãy

u_{n+1} = Au_n + B

(

A \neq 1

): đặt

v_n = u_n + \frac{B}{A-1}

thì

(v_n)

là CSN công bội

A

Mô-típ dạng bài

Cho 3 số hạng liên tiếp chứa ẩn → lập điều kiện CSC/CSN để tìm ẩn.

Cho các số hạng đầu của một cấp số → tính

S_n

Cho

u_{n+1} = Au_n + B

và

u_1

→ tìm

u_n

hoặc một số hạng xa.

HÌNH HỌC PHẲNG VÀ TỌA ĐỘ OXY

5. Vectơ và Tích vô hướng (hình phẳng)

Mục tiêu

Cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số.Dùng quy tắc ba điểm, hình bình hành, trung điểm, trọng tâm.Chứng minh ba điểm thẳng hàng; phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương.Tính tích vô hướng, độ dài, góc giữa hai vectơ; xét vuông góc.Xác định vị trí điểm thỏa đẳng thức vectơ.

Lý thuyết cốt lõi

\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

;

\vec{OB}-\vec{OA}=\vec{AB}

M

là trung điểm

AB

\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}

và

\vec{OA}+\vec{OB}=2\vec{OM}

G

là trọng tâm

\triangle ABC

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

A, B, C

thẳng hàng

\Leftrightarrow \vec{AB} = k\vec{AC}

\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\vec{u},\vec{v}) = x_1x_2 + y_1y_2

\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0

;

|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2

Mô-típ dạng bài

Cho hình bình hành hoặc tam giác → phân tích

\vec{AM}

theo

\vec{AB}, \vec{AC}

, hoặc tính tích vô hướng, độ dài.

Cho

k_1\vec{MA}+k_2\vec{MB}=\vec{0}

→ xác định vị trí điểm

M

6. Hệ thức lượng trong tam giác

Mục tiêu

Tính giá trị lượng giác của góc từ

0^\circ

đến

180^\circ

, góc phụ, góc bù.Giải tam giác vuông bằng hệ thức lượng.Tính cạnh, góc bằng định lý Cosin, định lý Sin.Tính diện tích tam giác (kể cả công thức Hê-rông).Tính độ dài trung tuyến, phân giác trong.

Lý thuyết cốt lõi

Góc bù:

\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha

;

\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

;

\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan\alpha

.Tam giác vuông tại

A

, đường cao

AH

AH^2 = BH \cdot CH

;

AB^2 = BH \cdot BC

\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}

;

AH \cdot BC = AB \cdot AC

.Cosin:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

.Sin:

\frac{a}{\sin A} = 2R

S = \frac{1}{2}ab\sin C = pr = \frac{abc}{4R}

.Hê-rông:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

.Trung tuyến:

m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}

; phân giác trong:

l_a = \frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}

Mô-típ dạng bài

Cho ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa → tính góc, diện tích, bán kính

R

r

Bài toán đo chiều cao, khoảng cách thực tế → dùng định lý Sin, Cosin.

7. Tọa độ Oxy: Đường thẳng, Đường tròn và Ba đường Conic

Mục tiêu

Tính tọa độ vectơ, trung điểm, trọng tâm.Viết phương trình đường thẳng (tham số, tổng quát).Xét vị trí tương đối, tính góc, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.Tìm hình chiếu, điểm đối xứng; tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp.Viết phương trình đường tròn và tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn.Nhận dạng và đọc các yếu tố của Elip, Hypebol, Parabol.Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và conic.

Lý thuyết cốt lõi

Đường thẳng qua

M(x_0;y_0)

, vectơ pháp tuyến

\vec{n}=(a;b)

a(x-x_0)+b(y-y_0)=0

.Vectơ chỉ phương

\vec{u}=(a;b)

thì vectơ pháp tuyến là

(-b;a)

; dạng tham số

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}

d(M, \Delta) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

.Góc giữa hai đường thẳng:

\cos\varphi = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}

.Đường tròn:

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

, hoặc

x^2+y^2-2ax-2by+c=0

với

R^2=a^2+b^2-c>0

.Tiếp tuyến tại

M(x_0;y_0)

thuộc đường tròn:

(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0

; tiếp xúc

\Leftrightarrow d(I,\Delta)=R

.Elip:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

a^2 = b^2 + c^2

, tiêu cự

2c

, trục lớn

2a

, trục nhỏ

2b

.Hypebol:

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

c^2 = a^2 + b^2

, trục thực

2a

, tiệm cận

y = \pm\frac{b}{a}x

.Parabol:

y^2 = 2px

, tiêu điểm

F(\frac{p}{2}; 0)

, đường chuẩn

x = -\frac{p}{2}

.Đường thẳng cắt conic: thế vào phương trình chính tắc, xét

\Delta

Mô-típ dạng bài

Cho tọa độ 3 đỉnh tam giác → tìm trọng tâm, trực tâm, viết phương trình đường cao, tính diện tích.

Cho đường tròn và điểm

M

thuộc đường tròn → viết tiếp tuyến tại

M

Cho elip/hypebol/parabol chính tắc → đọc tiêu điểm, độ dài trục, tiêu cự.

GIẢI TÍCH

10. Giới hạn và Hàm số liên tục

Mục tiêu

Tính giới hạn dãy số hữu tỉ và dãy chứa căn.Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.Khử dạng vô định

\frac{0}{0}

của giới hạn hàm số.Khử

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

; tính giới hạn một bên và giới hạn vô cực.Tìm tham số để hàm số liên tục tại điểm phân nhánh.Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính liên tục.

Lý thuyết cốt lõi

\lim\frac{1}{n^k} = 0

;

\lim q^n = 0

(

|q|<1

);

\lim n^k = +\infty

(

k>0

);

\lim q^n = +\infty

(

q>1

).Tổng CSN lùi vô hạn:

S = \frac{u_1}{1-q}

(

|q|<1

).Định lý kẹp:

u_n \le v_n \le w_n

và

\lim u_n = \lim w_n = L \Rightarrow \lim v_n = L

\frac{0}{0}

: phân tích nhân tử hoặc nhân lượng liên hợp.

\frac{\infty}{\infty}

: chia cho lũy thừa bậc cao nhất;

\infty - \infty

: nhân lượng liên hợp.

\lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L

.Liên tục tại

x_0

\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)

.Định lý giá trị trung gian:

f

liên tục trên

[a;b]

và

f(a)f(b)<0 \Rightarrow \exists c \in (a;b): f(c)=0

Mô-típ dạng bài

Cho hàm phân thức chứa căn dạng

\frac{0}{0}

khi

x \to x_0

→ rút gọn và tính giới hạn.

Cho hàm ghép hai nhánh tại

x = x_0

→ tìm tham số để hàm liên tục.

Cho phương trình đa thức → chứng minh có ít nhất

k

nghiệm trong khoảng cho trước.

11. Đạo hàm

Mục tiêu

Tính đạo hàm của hàm sơ cấp.Tính đạo hàm của tích, thương, hàm hợp.Tính đạo hàm cấp hai.Viết phương trình tiếp tuyến.Vận dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

Lý thuyết cốt lõi

(x^n)' = nx^{n-1}

;

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

(\sin x)' = \cos x

;

(\cos x)' = -\sin x

;

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

(e^x)' = e^x

;

(a^x)' = a^x\ln a

;

(\ln x)' = \frac{1}{x}

;

(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}

(uv)' = u'v + uv'

;

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

[f(u)]' = f'(u)\cdot u'

;

\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}

.Tiếp tuyến tại

M(x_0;y_0)

y = f'(x_0)(x-x_0) + y_0

, hệ số góc

k = f'(x_0)

.Tiếp tuyến song song thì cùng hệ số góc; vuông góc thì tích hệ số góc bằng

-1

.Vận tốc

v(t) = s'(t)

; gia tốc

a(t) = v'(t) = s''(t)

Mô-típ dạng bài

Cho hàm số cụ thể → tính

f''(x_0)

hoặc viết phương trình tiếp tuyến.

Cho tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng → tìm tiếp điểm rồi viết phương trình.

12. Ứng dụng đạo hàm: Đơn điệu, Cực trị, GTLN - GTNN và Tiệm cận

Mục tiêu

Xét tính đơn điệu bằng dấu đạo hàm; đọc từ bảng biến thiên, đồ thị.Tìm cực trị của hàm số.Tìm GTLN, GTNN trên một đoạn

[a;b]

.Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.Tìm tiệm cận xiên; đếm số đường tiệm cận.Tìm

m

để hàm bậc ba đơn điệu hoặc có cực trị thỏa điều kiện.

Lý thuyết cốt lõi

f'(x) > 0

trên

K

thì đồng biến;

f'(x) < 0

thì nghịch biến.Cực trị tại

x_0

khi

f'

đổi dấu qua

x_0

f'(x_0)=0

và

f''(x_0)>0

thì cực tiểu;

f''(x_0)<0

thì cực đại.GTLN, GTNN trên

[a;b]

: so sánh

f(a), f(b)

và các

f(x_i)

tại

f'(x_i) = 0

.Tiệm cận đứng

x=x_0

khi

\lim_{x\to x_0^\pm} y = \pm\infty

; tiệm cận ngang

y=y_0

khi

\lim_{x\to\pm\infty} y = y_0

y = \frac{ax+b}{cx+d}

có tiệm cận đứng

x = -\frac{d}{c}

, tiệm cận ngang

y = \frac{a}{c}

.Tiệm cận xiên

y = ax+b

với

a = \lim\frac{f(x)}{x} \neq 0

b = \lim[f(x) - ax]

.Hàm bậc ba: có hai cực trị

\Leftrightarrow y'=0

có hai nghiệm phân biệt; đơn điệu trên

\mathbb{R}

\Leftrightarrow \Delta_{y'} \le 0

.Hàm trùng phương: có 3 cực trị

\Leftrightarrow ab<0

; có 1 cực trị

\Leftrightarrow ab \ge 0

Mô-típ dạng bài

Cho hàm số cụ thể → tìm GTLN, GTNN trên đoạn

[a;b]

Cho bảng biến thiên có tiệm cận → chọn công thức hàm phân thức tương ứng.

Cho hàm bậc ba chứa

m

→ tìm

m

để hàm có hai cực trị hoặc đơn điệu trên

\mathbb{R}

13. Khảo sát, Nhận dạng đồ thị, Tương giao và Biến đổi đồ thị

Mục tiêu

Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba, trùng phương.Nhận dạng đồ thị hàm phân thức

\frac{ax+b}{cx+d}

\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}

.Xác định dấu các hệ số từ đồ thị hoặc bảng biến thiên.Biện luận số nghiệm của

f(x) = m

.Xét tương giao và tiếp xúc của hai đồ thị.Biến đổi đồ thị: tịnh tiến, đối xứng,

|f(x)|

f(|x|)

Lý thuyết cốt lõi

Hàm bậc ba:

a>0

thì đồ thị đi lên ở bên phải;

y(0)=d

là giao điểm với

Oy

y = \frac{ax+b}{cx+d}

y' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}

cùng dấu

ad-bc

; đồ thị qua

(0;\frac{b}{d})

và

(-\frac{b}{a};0)

.Số nghiệm của

f(x)=m

bằng số giao điểm của

y=f(x)

với đường thẳng ngang

y=m

.Tịnh tiến:

y=f(x)+a

lên

a

đơn vị;

y=f(x-a)

sang phải

a

đơn vị.Đối xứng:

y=-f(x)

qua

Ox

;

y=f(-x)

qua

Oy

y=|f(x)|

: giữ phần trên

Ox

, lật phần dưới lên;

y=f(|x|)

: giữ phần bên phải

Oy

, lấy đối xứng qua

Oy

.Hai đồ thị tiếp xúc

\Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f'(x) = g'(x) \end{cases}

có nghiệm.

Mô-típ dạng bài

Cho hình vẽ đồ thị → chọn công thức hàm số hoặc xác định dấu của

a, b, c, d

Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị

y=f(x)

→ tìm số nghiệm của

f(x)=m

hoặc

|f(x)|=m

14. Lũy thừa, Mũ, Lôgarit và Bài toán lãi suất

Mục tiêu

Vận dụng công thức lũy thừa và căn bậc

n

.Vận dụng công thức logarit và đổi cơ số.Tìm tập xác định, xét biến thiên hàm mũ, logarit; so sánh cơ số qua đồ thị.Giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit cơ bản.Giải bài toán lãi đơn, lãi kép.

Lý thuyết cốt lõi

\log_a b

xác định khi

0<a\neq 1

b>0

;

x^\alpha

với

\alpha \notin \mathbb{Z}

thì

x>0

\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}

;

a^{\log_a b} = b

\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c

;

\log_a b^\alpha = \alpha\log_a b

.Đổi cơ số:

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

;

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

;

\log_{a^\alpha} b = \frac{1}{\alpha}\log_a b

.Cơ số

a>1

hàm đồng biến;

0<a<1

hàm nghịch biến.

a^{f} = a^{g} \Leftrightarrow f = g

;

\log_a f = \log_a g \Leftrightarrow f = g > 0

.Bất phương trình: cơ số

>1

giữ chiều, cơ số

<1

đổi chiều.Lãi đơn:

T = A(1+nr)

.Lãi kép:

T = A(1+r)^n

(

A

vốn,

r

lãi mỗi kỳ,

n

số kỳ).

Mô-típ dạng bài

Cho

a = \log_x y

→ biểu diễn biểu thức logarit khác theo

a

Cho phương trình

a^{f(x)} = b^{g(x)}

→ đưa về cùng cơ số, tính tổng hoặc tích các nghiệm.

Cho khoản gửi

A

, lãi kép

r

→ tìm số kỳ

n = \log_{1+r}\frac{T}{A}

để đạt số tiền

T

15. Nguyên hàm và Tích phân

Mục tiêu

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức, lượng giác, mũ.Tính tích phân bằng công thức Newton-Leibniz.Dùng tính chất tuyến tính và tách cận của tích phân.Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.Tính diện tích hình phẳng.Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục

Ox

Lý thuyết cốt lõi

\int f(x)dx = F(x)+C \Leftrightarrow F'(x)=f(x)

;

\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C

;

\int\frac{dx}{x} = \ln|x|+C

\int\sin x\,dx = -\cos x+C

;

\int\cos x\,dx = \sin x+C

;

\int\frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x+C

\int e^x dx = e^x+C

;

\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C

\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx

;

\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b

.Hàm lẻ trên

[-a;a]

\int_{-a}^a f = 0

; hàm chẵn:

\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f

.Đổi biến:

\int_a^b f(u(x))u'(x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du

.Từng phần:

\int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du

(ưu tiên đặt

u

là đa thức hoặc logarit).Diện tích:

S = \int_a^b |f(x)-g(x)|dx

.Thể tích tròn xoay quanh

Ox

V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx

Mô-típ dạng bài

Cho

f(x)

và

F(x_0)=y_0

→ tính

F(x_1)

Cho

\int_a^b f

và

\int_a^b g

→ tính tích phân biểu thức kết hợp.

Cho tích phân dạng

\int xe^x dx

\int x\sin x\,dx

→ chọn cách đặt và tính.

Cho hình vẽ miền giới hạn bởi đường cong và trục → tính diện tích hoặc thể tích.

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

16. Hình học không gian: Quan hệ song song và Quan hệ vuông góc

Mục tiêu

Xác định giao điểm, giao tuyến của hai mặt phẳng.Dựng thiết diện của hình chóp, lăng trụ với một mặt phẳng.Chứng minh quan hệ song song (đường - mặt, mặt - mặt).Chứng minh quan hệ vuông góc (đường - mặt, mặt - mặt); nhận diện hình chiếu.

Lý thuyết cốt lõi

Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai điểm chung.Nếu

a\subset(P)

b\subset(Q)

a\parallel b

thì giao tuyến của

(P),(Q)

song song với

a, b

d\parallel(P) \Leftrightarrow d

song song với một đường thẳng nằm trong

(P)

(P)\parallel(Q) \Leftrightarrow (P)

chứa hai đường cắt nhau cùng song song

(Q)

d\perp(P) \Leftrightarrow d

vuông góc với hai đường cắt nhau nằm trong

(P)

(P)\perp(Q) \Leftrightarrow (P)

chứa một đường vuông góc

(Q)

; định lý ba đường vuông góc.Dựng thiết diện: tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với từng mặt, nối thành đa giác.

Mô-típ dạng bài

Cho hình chóp và mặt phẳng qua 3 điểm → xác định giao điểm, giao tuyến, hình dạng thiết diện.

Cho hình chóp hoặc lăng trụ → chọn mệnh đề đúng/sai về song song, vuông góc.

17. Góc, Khoảng cách và Thể tích khối đa diện, khối tròn xoay

Mục tiêu

Tính thể tích khối chóp, lăng trụ.Tính thể tích khối nón, trụ, cầu.Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.Xác định và tính góc phẳng nhị diện.Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, giữa đường và mặt phẳng song song.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.Tính tỉ số thể tích; vận dụng định lý Menelaus.

Lý thuyết cốt lõi

V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3}S_{\text{đáy}}\cdot h

;

V_{\text{lăng trụ}} = S_{\text{đáy}}\cdot h

V_{\text{nón}} = \frac{1}{3}\pi R^2h

;

V_{\text{trụ}} = \pi R^2h

;

V_{\text{cầu}} = \frac{4}{3}\pi R^3

S_{xq}

trụ

= 2\pi Rh

;

S_{xq}

nón

= \pi Rl

;

S_{\text{cầu}} = 4\pi R^2

; mặt xung quanh trụ trải phẳng thành hình chữ nhật

2\pi R \times h

.Góc đường - mặt: góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng.Góc nhị diện: góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến, nằm trong hai mặt.Đổi điểm khi tính khoảng cách:

\frac{d(A,(P))}{d(B,(P))} = \frac{AI}{BI}

với

I = AB \cap (P)

.Chóp

S.ABC

có

SA\perp(ABC)

\frac{1}{d^2(A,(SBC))} = \frac{1}{SA^2}+\frac{1}{d^2(A,BC)}

.Tam diện vuông tại

O

\frac{1}{d^2(O,(ABC))} = \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}

.Hai đường chéo nhau

a, b

d(a,b) = d(a,(P))

với

(P)\supset b

(P)\parallel a

.Tỉ số thể tích:

\frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA'}{SA}\cdot\frac{SB'}{SB}\cdot\frac{SC'}{SC}

.Menelaus: đường thẳng cắt

BC, CA, AB

tại

M, N, P

thì

\frac{MB}{MC}\cdot\frac{NC}{NA}\cdot\frac{PA}{PB} = 1

Mô-típ dạng bài

Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy → tính tang góc giữa cạnh bên và đáy, hoặc khoảng cách.

Cho chóp hoặc lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông/đều → tính thể tích.

Cho mặt phẳng cắt các cạnh bên tại

A', B', C'

→ tính tỉ số thể tích, dùng Menelaus để dựng giao điểm.

18. Vectơ và Tọa độ trong không gian

Mục tiêu

Thực hiện phép toán vectơ; tính trọng tâm tứ diện.Giải bài toán hợp lực và cân bằng lực.Tính tích vô hướng, độ dài, tọa độ vectơ trong

Oxyz

.Tính tích có hướng, diện tích tam giác, thể tích tứ diện.Tìm tọa độ điểm đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ.Xác định tâm tỉ cự của hệ điểm (mức cơ bản).

Lý thuyết cốt lõi

Trọng tâm tứ diện:

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}

.Lực là vectơ: hợp lực

\vec{F} = \vec{F}_1+\vec{F}_2

; cân bằng

\Leftrightarrow \sum\vec{F}_i=\vec{0}

\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2

;

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

[\vec{u},\vec{v}] = (y_1z_2-z_1y_2;\ z_1x_2-x_1z_2;\ x_1y_2-y_1x_2)

S_{ABC} = \frac{1}{2}|[\vec{AB},\vec{AC}]|

;

V_{ABCD} = \frac{1}{6}|[\vec{AB},\vec{AC}]\cdot\vec{AD}|

.Đối xứng qua

(Oxy)

(x;y;-z)

; qua

(Oxz)

(x;-y;z)

; qua

(Oyz)

(-x;y;z)

.Tâm tỉ cự

I

thỏa

\sum k_i\vec{IA_i}=\vec{0}

(

\sum k_i \neq 0

), tọa độ

x_I = \frac{\sum k_ix_i}{\sum k_i}

(tương tự

y_I, z_I

).Với mọi

M

\sum k_iMA_i^2 = (\sum k_i)MI^2 + \sum k_iIA_i^2

; nếu

\sum k_i>0

thì giá trị nhỏ nhất khi

MI

nhỏ nhất.

Mô-típ dạng bài

Cho tọa độ 4 điểm → tính thể tích tứ diện bằng tích hỗn tạp.

Cho điểm

M(x;y;z)

→ tìm điểm đối xứng qua

(Oxy)

và tính độ dài.

Cho các lực tác dụng lên một điểm → tìm hợp lực hoặc lực cần thêm để cân bằng.

19. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu và Vị trí tương đối trong Oxyz

Mục tiêu

Lập phương trình mặt phẳng, mặt phẳng trung trực.Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.Lập phương trình đường thẳng và mặt cầu.Xét vị trí tương đối (mặt - mặt, đường - mặt, đường - đường, cầu).Tính góc giữa hai đường thẳng, đường - mặt, hai mặt phẳng.Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, giữa hai đường chéo nhau.Tìm hình chiếu và điểm đối xứng qua đường thẳng, mặt phẳng.

Lý thuyết cốt lõi

Mặt phẳng:

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

; vectơ pháp tuyến của

(ABC)

là

[\vec{AB},\vec{AC}]

d(M;(P)) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

.Đường thẳng:

\begin{cases} x = x_0+at \\ y = y_0+bt \\ z = z_0+ct \end{cases}

, vectơ chỉ phương

\vec{u}=(a;b;c)

.Mặt cầu:

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2

, hoặc

x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0

với

R^2=a^2+b^2+c^2-d

(P)\parallel(Q) \Leftrightarrow

hai vectơ pháp tuyến cùng phương;

d\parallel(P) \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{n}=0

và một điểm của

d

không thuộc

(P)

.Đường/mặt phẳng và mặt cầu: so sánh khoảng cách từ tâm đến đường/mặt với

R

.Hai đường thẳng:

\cos\varphi = \frac{|\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2|}{|\vec{u}_1||\vec{u}_2|}

; đường - mặt:

\sin\varphi = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}

; hai mặt:

\cos\varphi = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}

d(M,d) = \frac{|[\vec{AM},\vec{u}]|}{|\vec{u}|}

; hai đường chéo nhau:

d = \frac{|[\vec{u}_1,\vec{u}_2]\cdot\vec{A_1A_2}|}{|[\vec{u}_1,\vec{u}_2]|}

.Hình chiếu

H

của

M

: tham số hóa

H

rồi dùng điều kiện

\vec{MH}

vuông góc; điểm đối xứng

M'

có

H

là trung điểm

MM'

Mô-típ dạng bài

Cho hai điểm

A, B

→ viết phương trình mặt phẳng trung trực của

AB

Cho điểm và mặt phẳng/đường thẳng → tìm hình chiếu, điểm đối xứng, khoảng cách.

Cho hai đường thẳng hoặc đường thẳng và mặt cầu → xét vị trí tương đối, tính góc hoặc khoảng cách.

THỐNG KÊ, TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

20. Thống kê và Biểu diễn dữ liệu

Mục tiêu

Tính trung bình, trung vị, mốt của mẫu không ghép nhóm.Đọc thông tin từ biểu đồ cột, biểu đồ hình quạt tròn.Tính khoảng biến thiên, tứ phân vị, khoảng tứ phân vị.Tính phương sai và độ lệch chuẩn.Xử lý mẫu ghép nhóm: giá trị đại diện, trung bình, nhóm chứa Me, Q, Mo.Tính trung vị, tứ phân vị, mốt và phương sai của mẫu ghép nhóm.Xác định giá trị ngoại lệ.Nhận định biến động của trung bình, độ lệch chuẩn khi bỏ phần tử.

Lý thuyết cốt lõi

Trung vị

M_e

: giá trị chính giữa dãy sắp thứ tự; mốt

M_o

: giá trị có tần số lớn nhất.

R = x_{\max}-x_{\min}

;

\Delta_Q = Q_3-Q_1

s^2 = \frac{1}{n}\sum n_i(x_i-\bar{x})^2

; độ lệch chuẩn

s=\sqrt{s^2}

.Ghép nhóm

[a_i;a_{i+1})

: đại diện

c_i = \frac{a_i+a_{i+1}}{2}

;

\bar{x} = \frac{\sum n_ic_i}{n}

.Tứ phân vị (trung vị là

k=2

Q_k = u_m + \frac{\frac{kn}{4}-C}{n_m}(u_{m+1}-u_m)

C

là tần số tích lũy các nhóm trước nhóm

m

.Mốt:

M_o = u_m + \frac{n_m-n_{m-1}}{(n_m-n_{m-1})+(n_m-n_{m+1})}(u_{m+1}-u_m)

.Phương sai ghép nhóm:

s^2 = \frac{1}{n}\sum n_ic_i^2 - \bar{x}^2

.Giá trị ngoại lệ:

x<Q_1-1{,}5\Delta_Q

hoặc

x>Q_3+1{,}5\Delta_Q

.Bỏ hai giá trị đối xứng qua

\bar{x}

và xa

\bar{x}

nhất: trung bình không đổi, độ lệch chuẩn giảm (không đổi nếu mọi giá trị cách đều

\bar{x}

); nếu không đối xứng thì phải tính cụ thể.

Mô-típ dạng bài

Cho bảng ghép nhóm → xác định nhóm chứa mốt hoặc

Q_3

rồi tính giá trị.

Cho biểu đồ quạt tròn → kiểm tra đúng/sai các nhận định về tỉ lệ phần trăm.

Cho mẫu có trung bình và độ lệch chuẩn, bỏ phần tử lớn nhất và nhỏ nhất → nhận định chiều biến thiên của trung bình và độ lệch chuẩn mới.

21. Đại số tổ hợp và Nhị thức Newton

Mục tiêu

Vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân.Phân biệt và tính hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.Giải bài toán chọn nhóm có hoặc không phân công.Xếp chỗ có điều kiện bằng gộp nhóm, chèn khoảng trống.Khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số của

x^k

.Vận dụng bài toán chia kẹo Euler (vách ngăn).

Lý thuyết cốt lõi

Hoán vị

P_n = n!

.Có thứ tự:

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

; không thứ tự:

C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

C_n^k = C_n^{n-k}

;

C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}

(Pascal).Newton:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k

; số hạng tổng quát

T_{k+1} = C_n^ka^{n-k}b^k

;

\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n

.Gộp nhóm: các phần tử phải đứng cạnh nhau gộp thành một khối, nhân với hoán vị nội bộ.Chèn khoảng trống: xếp các phần tử tự do trước, rồi chèn các phần tử không được đứng cạnh nhau vào các khoảng trống (kể cả hai đầu).Chia

n

kẹo giống nhau cho

k

người, ai cũng có ít nhất 1 cái:

C_{n-1}^{k-1}

cách.Số nghiệm nguyên không âm của

x_1+\dots+x_k=n

C_{n+k-1}^{k-1}

Mô-típ dạng bài

Cho nhóm gồm nam và nữ → tính số cách chọn người làm các nhiệm vụ có hoặc không phân công.

Cho khai triển

(ax+\frac{b}{x^2})^n

→ tìm hệ số của

x^k

hoặc số hạng không chứa

x

Cho các phần quà giống nhau chia cho các nhóm, nhóm nào cũng có quà → áp dụng công thức vách ngăn.

22. Xác suất cổ điển

Mục tiêu

Mô tả không gian mẫu và biến cố.Phân biệt biến cố đối, xung khắc, độc lập.Tính xác suất cổ điển

P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}

.Dùng biến cố đối để tính xác suất.Dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất.

Lý thuyết cốt lõi

P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}

.Biến cố đối:

P(A) = 1 - P(\bar{A})

P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)

;

A, B

xung khắc thì

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

A, B

độc lập

\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)

Mô-típ dạng bài

Rút ngẫu nhiên các viên bi từ một hộp → tính xác suất lấy được bi cùng màu hoặc khác màu.

Xếp nam và nữ vào hàng ngang → tính xác suất không có hai bạn nam đứng cạnh nhau (chèn khoảng trống).

Cho hai người hoạt động độc lập với xác suất thành công cho trước → tính xác suất có ít nhất một người thành công.

23. Xác suất có điều kiện và Công thức Bayes

Mục tiêu

Tính

P(A|B)

từ bảng số liệu hai chiều.Tính

P(A|B)

bằng không gian mẫu thu hẹp.Dùng công thức nhân và xác suất toàn phần trong bài toán nhiều bước.Áp dụng công thức Bayes.

Lý thuyết cốt lõi

P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

với

P(B)>0

P(A\cap B) = P(B)P(A|B)

;

P(\bar{A}|B) = 1-P(A|B)

.Toàn phần:

P(B) = P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)

.Bayes:

P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}

Mô-típ dạng bài

Cho bảng số liệu hai chiều → tính xác suất có tính chất A khi biết đã có tính chất B.

Lấy 1 viên bi từ hộp 1 sang hộp 2 rồi rút từ hộp 2 → tính xác suất viên bi rút ra thuộc hộp 1 khi biết màu của nó.